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域的定义与基本例子

域的定义​

设 FF 为交换含幺环，F≠{0}F \neq \{0\}。若 FF 中每个非零元均有乘法逆元，即

∀a∈F,a≠0,∃a−1∈F, 使 aa−1=a−1a=1\forall a \in F, a \neq 0, \exists a^{-1} \in F, \text{ 使 } aa^{-1} = a^{-1}a = 1

则称 FF 为一个域（Field）。

等价定义：域 == 交换的除环 == 整环 ++ 非零元可逆。

域 vs 环的分类关系​

环 Ring
├── 交换环
│   ├── 整环（无零因子）
│   │   └── 域（非零元可逆）
│   └── 有零因子的交换环（如 Z_6）
└── 非交换环（如矩阵环 M_n(F)）
    └── 除环（非零元可逆但不交换，如四元数 H）

包含关系：域 ⊂\subset 整环 ⊂\subset 交换含幺环 ⊂\subset 环

域的基本性质​

  1. 域是无零因子的：ab=0⇒a=0ab = 0 \Rightarrow a = 0 或 b=0b = 0
  2. 非零元构成乘法群：F×=F∖{0}F^{\times} = F \setminus \{0\} 在乘法下成群
  3. 域只有平凡理想：{0}\{0\} 和 FF（因为若 I≠{0}I \neq \{0\}，取 a∈I,a≠0a \in I, a \neq 0，则 1=a−1a∈I1 = a^{-1}a \in I，故 I=FI = F）
  4. 有限整环必为域：若 RR 是有限整环，则 RR 是域

子域与扩域​

设 EE 是域。若 F⊆EF \subseteq E 且在 EE 的运算下 FF 自身也是域，则称 FF 是 EE 的子域，EE 是 FF 的扩域（Extension Field）。

子域判定（定理）​

F⊆EF \subseteq E 是子域   ⟺  \iff 0,1∈F0, 1 \in F，且 FF 对加减乘除封闭。

常见域的例子​

域特征元素个数说明
Q\mathbb{Q}00无限有理数域，最小特征 00 域
R\mathbb{R}00无限实数域
C\mathbb{C}00无限复数域，代数闭域
Fp=Zp\mathbb{F}_p = \mathbb{Z}_ppppppp 元有限域（pp 为素数）
Fpn\mathbb{F}_{p^n}pppnp^npnp^n 元有限域（Galois 域）
Q(2)\mathbb{Q}(\sqrt{2})00无限{a+b2∣a,b∈Q}\{a+b\sqrt{2} \mid a,b\in\mathbb{Q}\}
Q(i)\mathbb{Q}(i)00无限高斯有理数域
H\mathbb{H}—无限四元数除环（非交换，故不是域）

特别注意：Zn\mathbb{Z}_n 是域当且仅当 nn 是素数。nn 合数时 Zn\mathbb{Z}_n 是含幺交换环但不是整环（有零因子），更不是域。

域与商环的关系​

RR 为交换含幺环，I⊴RI \trianglelefteq R。则：

R/I 是域   ⟺  I 是极大理想R/I \text{ 是域 } \iff I \text{ 是极大理想}

这是判断商环是否为域的核心定理，也是构造新域的标准方法。