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陪集

定义​

设 H⩽GH \leqslant G，a∈Ga \in G。

  • 左陪集：aH={ah∣h∈H}aH = \{ah \mid h \in H\}
  • 右陪集：Ha={ha∣h∈H}Ha = \{ha \mid h \in H\}

aa 称为该陪集的代表元。

陪集的基本性质​

  1. 大小相等：∣aH∣=∣H∣|aH| = |H|（映射 h↦ahh \mapsto ah 是双射）
  2. HH 自身是陪集：eH=H=HeeH = H = He
  3. a∈aHa \in aH：因为 a=ae∈aHa = ae \in aH
  4. aH=H  ⟺  a∈HaH = H \iff a \in H
  5. aH=bH  ⟺  a−1b∈HaH = bH \iff a^{-1}b \in H（左陪集相等的充要条件）
  6. 任意两个左陪集要么相等，要么不相交：aH∩bH≠∅⇒aH=bHaH \cap bH \neq \varnothing \Rightarrow aH = bH

Lagrange 定理​

设 GG 为有限群，H⩽GH \leqslant G，则 ∣H∣|H| 整除 ∣G∣|G|，且 ∣G∣=∣H∣⋅[G:H]|G| = |H| \cdot [G:H] 其中 [G:H][G:H] 是 HH 在 GG 中的指数（即不同左陪集的个数）。

重要推论​

  1. 元素的阶整除群的阶：∀a∈G\forall a \in G，有 ∣a∣∣∣G∣|a| \mid |G|
  2. 素数阶群必为循环群：若 ∣G∣=p|G| = p（素数），则 G≅ZpG \cong \mathbb{Z}_p
  3. a∣G∣=ea^{|G|} = e：对任意有限群 GG 和任意 a∈Ga \in G

陪集分解​

GG 可以写成互不相交的左陪集的并：

G=a1H∪a2H∪⋯∪akHG = a_1H \cup a_2H \cup \cdots \cup a_kH

其中 k=[G:H]k = [G:H]，{a1,a2,…,ak}\{a_1, a_2, \ldots, a_k\} 称为 HH 在 GG 中的一个左陪集代表系。

双重陪集​

设 H,K⩽GH, K \leqslant G，对 a∈Ga \in G，定义双重陪集：

HaK={hak∣h∈H,k∈K}HaK = \{hak \mid h \in H, k \in K\}

双重陪集也对 GG 构成划分。

指数公式​

设 K⩽H⩽GK \leqslant H \leqslant G，则

[G:K]=[G:H]⋅[H:K][G:K] = [G:H] \cdot [H:K]