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子群

定义​

设 GG 为群，H⊆GH \subseteq G 为非空子集。若 HH 在 GG 的运算下也构成群，则称 HH 为 GG 的子群，记作 H⩽GH \leqslant G。

子群判定定理​

第一判定定理（一步判定）​

H⩽G  ⟺  H≠∅H \leqslant G \iff H \neq \varnothing 且 ∀a,b∈H\forall a, b \in H，有 ab−1∈Hab^{-1} \in H。

第二判定定理（两步判定）​

H⩽G  ⟺  H \leqslant G \iff：

  1. H≠∅H \neq \varnothing
  2. ∀a,b∈H\forall a, b \in H，有 ab∈Hab \in H（封闭性）
  3. ∀a∈H\forall a \in H，有 a−1∈Ha^{-1} \in H（逆元封闭）

有限子群判定​

若 HH 是 GG 的有限非空子集，则 H⩽G  ⟺  HH \leqslant G \iff H 对 GG 的运算封闭。

特殊子群​

子群记号说明
平凡子群{e}\{e\}只含单位元
非平凡子群—除 {e}\{e\} 和 GG 外的子群
真子群H<GH < GH⩽GH \leqslant G 且 H≠GH \neq G

生成子群​

设 S⊆GS \subseteq G，GG 中包含 SS 的最小子群称为 SS 的生成子群，记作 ⟨S⟩\langle S \rangle。

  • 当 S={a}S = \{a\} 时，⟨a⟩={an∣n∈Z}\langle a \rangle = \{a^n \mid n \in \mathbb{Z}\} 称为 aa 生成的循环子群
  • ⟨S⟩\langle S \rangle 由 SS 中元素的所有有限乘积构成

子群的性质​

  1. 子群的交：若 H1,H2⩽GH_1, H_2 \leqslant G，则 H1∩H2⩽GH_1 \cap H_2 \leqslant G
  2. 子群的并：H1∪H2H_1 \cup H_2 未必是子群（一般需要 H1⊆H2H_1 \subseteq H_2 或 H2⊆H1H_2 \subseteq H_1）
  3. 传递性：若 K⩽HK \leqslant H 且 H⩽GH \leqslant G，则 K⩽GK \leqslant G

常见例子​

  • nZ={nk∣k∈Z}⩽Zn\mathbb{Z} = \{nk \mid k \in \mathbb{Z}\} \leqslant \mathbb{Z}
  • SLn(R)⩽GLn(R)SL_n(\mathbb{R}) \leqslant GL_n(\mathbb{R})（行列式为 1 的矩阵构成一般线性群的子群）
  • 交错群 An⩽SnA_n \leqslant S_n