群作用的进一步应用

共轭作用与 Sylow 定理的联系

$G$ 共轭作用于全体 Sylow $p$ -子群的集合 $\operatorname{Syl}_p(G)$ ：

$g \cdot P = gPg^{-1}$

通过群作用视角，Sylow 定理的证明变得更加清晰和统一。

群 $G$ 在自身上的左乘作用给出单同态 $\varphi: G \to \operatorname{Sym}(G) \cong S_{|G|}$ ：

$\varphi(g)(x) = gx$

这就是 Cayley 定理的群作用证明：

Cayley 定理：任意群 $G$ 同构于某个置换群的子群。若 $|G| = n$ ，则 $G$ 可嵌入 $S_n$ 。

若 $G$ 有指数为 $n$ 的子群 $H$ ，则 $G$ 作用于 $G/H$ 给出同态 $G \to S_n$ ，其核包含在 $H$ 中。此事实常用于证明群的非单性——若能找到指数较小的子群，则可推断群不是单群。

群作用提供了半直积的自然定义。设 $N$ 和 $H$ 为群， $\varphi: H \to \operatorname{Aut}(N)$ 为同态（即 $H$ 作用于 $N$ ），则在 $N \times H$ 上定义乘法：

$(n_1, h_1)(n_2, h_2) = (n_1 \cdot \varphi(h_1)(n_2), h_1h_2)$

得到半直积 $N \rtimes_\varphi H$ 。

$D_{2n} \cong \mathbb{Z}_n \rtimes \mathbb{Z}_2$ ，其中 $\mathbb{Z}_2$ 作用于 $\mathbb{Z}_n$ 取逆
$S_n \cong A_n \rtimes \mathbb{Z}_2$ （当 $n \geq 2$ ）

直积 vs 半直积：直积是半直积的特例（ $\varphi$ 为平凡作用）。半直积的"半"正体现在第二个因子不必是正规子群——它只是"作用"在第一个正规因子上。