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轨道与稳定子定理

轨道的基本性质​

轨道划分 X​

设 GG 作用于 XX。定义关系：x∼y  ⟺  ∃g∈G,g⋅x=yx \sim y \iff \exists g \in G, g \cdot x = y，则 ∼\sim 是 XX 上的等价关系，其等价类恰为轨道。

因此轨道给出 XX 的一个划分：

X=⨆iOrb⁡(xi)X = \bigsqcup_{i} \operatorname{Orb}(x_i)

其中 xix_i 取遍各轨道的代表元。

轨道的基本结论​

性质说明
轨道不相交x∼yx \sim y 则 Orb⁡(x)=Orb⁡(y)\operatorname{Orb}(x) = \operatorname{Orb}(y)；否则 Orb⁡(x)∩Orb⁡(y)=∅\operatorname{Orb}(x) \cap \operatorname{Orb}(y) = \varnothing
传递作用等价于单轨道GG 在 XX 上传递当且仅当 XX 自身是一个轨道
轨道长度整除G

稳定子群​

定义​

设 GG 作用于 XX，x∈Xx \in X。xx 的稳定子群为：

Gx=Stab⁡(x)={g∈G∣g⋅x=x}G_x = \operatorname{Stab}(x) = \{g \in G \mid g \cdot x = x\}

可以验证 Gx⩽GG_x \leqslant G 确实是子群。

同一轨道中的稳定子群​

命题：同一轨道中任意两点的稳定子群互相共轭： Gg⋅x=g Gx g−1G_{g \cdot x} = g \, G_x \, g^{-1}

这提供了一个重要技巧：研究轨道中任一点的稳定子群，就了解了整个轨道的稳定子群结构。

轨道-稳定子定理​

定理（Orbit-Stabilizer Theorem）：设 GG 作用于 XX，x∈Xx \in X。则 ∣Orb⁡(x)∣=[G:Gx]|\operatorname{Orb}(x)| = [G : G_x] 即轨道的大小等于稳定子群在 GG 中的指数。若 GG 有限，则有 ∣G∣=∣Orb⁡(x)∣⋅∣Gx∣|G| = |\operatorname{Orb}(x)| \cdot |G_x|

证明​

构造映射 ψ:G/Gx→Orb⁡(x)\psi: G/G_x \to \operatorname{Orb}(x)，ψ(gGx)=g⋅x\psi(gG_x) = g \cdot x。

  1. 良定义：若 gGx=hGxgG_x = hG_x，则 h−1g∈Gxh^{-1}g \in G_x，故 (h−1g)⋅x=x(h^{-1}g) \cdot x = x，从而 g⋅x=h⋅xg \cdot x = h \cdot x。
  2. 单射：若 g⋅x=h⋅xg \cdot x = h \cdot x，则 (h−1g)⋅x=x(h^{-1}g) \cdot x = x，故 h−1g∈Gxh^{-1}g \in G_x，即 gGx=hGxgG_x = hG_x。
  3. 满射：对任意 y∈Orb⁡(x)y \in \operatorname{Orb}(x)，存在 g∈Gg \in G 使 y=g⋅x=ψ(gGx)y = g \cdot x = \psi(gG_x)。

因此 ψ\psi 是双射，∣Orb⁡(x)∣=∣G/Gx∣=[G:Gx]|\operatorname{Orb}(x)| = |G/G_x| = [G : G_x]。

重要推论​

  • 元素的阶整除群的阶的推广：轨道的长度（而非元素的阶）整除 ∣G∣|G|
  • 计数公式：∣X∣=∑i[G:Gxi]|X| = \sum_i [G : G_{x_i}]，其中 xix_i 取遍轨道代表元