群同构

定义

若存在群同态 $\varphi: G \to H$ 是双射，则称 $\varphi$ 为群同构（Group Isomorphism），称 $G$ 与 $H$ 同构，记作 $G \cong H$。

同构映射的逆映射也是同构。

直观理解：同构的群具有完全相同的群结构，只是元素的"名字"不同。在群论中，同构的群被视为"本质上相同"。

同构判定

同构不变量

若 $G \cong H$，则以下量必须相等：

不变量	说明
$	G
交换性	$G$ 交换 $\iff$ $H$ 交换
元素的阶的分布	各阶元素个数相同
循环性	$G$ 循环 $\iff$ $H$ 循环
生成元个数	最小生成元集合大小
中心的大小	$
是否有特定阶的子群	子群结构

Cayley 定理

任意群 $G$ 同构于某个对称群的一个子群。即 $G$ 可嵌入 $S_{|G|}$。

Cayley 定理说明置换群是"最一般"的群。

自同构

$G$ 到自身的同构称为自同构。$G$ 的所有自同构在映射合成下构成群，记作 $\operatorname{Aut}(G)$。

内自同构

对固定的 $g \in G$，映射

$i_g: G \to G, \quad i_g(x) = gxg^{-1}$

称为 $g$ 诱导的内自同构。所有内自同构构成 $\operatorname{Inn}(G) \trianglelefteq \operatorname{Aut}(G)$。

外自同构群

$\operatorname{Out}(G) = \operatorname{Aut}(G) / \operatorname{Inn}(G)$

常见同构

同构	说明
$\mathbb{Z}_n \cong \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$	循环群同构
$\mathbb{R}^+ \cong \mathbb{R}$	指数映射
$\mathbb{C}^* \cong \mathbb{R}^+ \times S^1$	极坐标分解
$S_n / A_n \cong \{\pm 1\}$	商群同构
$G / \ker \varphi \cong \operatorname{im} \varphi$	第一同构定理

同构类

群论的一个重要目标是 对有限群进行分类（即找出所有不同构的群）。例如：

• 阶为素数的群只有 $\mathbb{Z}_p$（同构意义下唯一）
• 阶为 4 的群：$\mathbb{Z}_4$ 和 $V_4$（Klein 四元群）
• 阶为 6 的群：$\mathbb{Z}_6$ 和 $S_3$（非交换群）