对称群 $S_n$

定义

$n$ 个元素的集合上的全体置换构成的群，称为 $n$ 次对称群，记作 $S_n$。

$|S_n| = n!$

$S_n$ 的基本性质

性质	说明
$S_1$	平凡群
$S_2$	$\cong \mathbb{Z}_2$，交换
$S_3$	最小非交换对称群，同构于二面体群 $D_6$
$n \geq 3$	$S_n$ 为非交换群
中心	$Z(S_n) = \{e\}$（$n \geq 3$）

共轭类

$S_n$ 中两个置换共轭 $\iff$ 它们具有相同的轮换型（即轮换分解中各长度轮换的个数分布）。

因此 $S_n$ 的共轭类与 $n$ 的整数分拆一一对应。

例子：$S_3$ 的共轭类

轮换型	代表元	大小
$1+1+1$	$(1)$	1
$2+1$	$(1\;2)$	3
$3$	$(1\;2\;3)$	2

交错群 $A_n$

偶置换全体构成 $S_n$ 的正规子群，称为交错群，记作 $A_n$。

$|A_n| = \frac{n!}{2}, \quad [S_n : A_n] = 2$

$A_n \trianglelefteq S_n, \quad S_n / A_n \cong \mathbb{Z}_2$

$A_n$ 的单性

$A_n$（$n \geq 5$）是单群。这是 Abel-Ruffini 定理（五次以上方程无根式解）的核心群论依据。

$S_n$ 的生成元

$S_n$ 可由以下元素生成：

• 全体对换 $(i\;j)$
• 相邻对换 $(1\;2), (2\;3), \ldots, (n-1\;n)$
• $(1\;2)$ 和 $(1\;2\;\cdots\;n)$

$A_n$ 可由所有 3-轮换生成。

小阶对称群

| $n$ | $|S_n|$ | $|A_n|$ | 交换？ | $A_n$ 单？ | |---|---|---|---|---|---| | 1 | 1 | 1 | ✓ | ✗ | | 2 | 2 | 1 | ✓ | ✗ | | 3 | 6 | 3 | ✗ | ✓ | | 4 | 24 | 12 | ✗ | ✗ | | 5 | 120 | 60 | ✗ | ✓ |

与二面体群的关系

$S_3 \cong D_6$（二面体群 $D_6$）

一般地，$D_{2n}$ 是 $S_n$ 的子群（作为正 $n$ 边形的对称群）。