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理想

理想（Ideal）是环论中最重要的子结构。它在环论中的地位，类似正规子群在群论中的地位——恰好是"能用来构造商结构"的子环。

定义​

设 RR 为环，I⊆RI \subseteq R 为非空子集。若满足：

  1. 加法子群：∀a,b∈I\forall a, b \in I，有 a−b∈Ia - b \in I（即 (I,+)⩽(R,+)(I, +) \leqslant (R, +)）
  2. 吸收性：∀r∈R,a∈I\forall r \in R, a \in I，有 ra∈Ira \in I 和 ar∈Iar \in I

则称 II 为 RR 的**（双边）理想**。若只满足 ra∈Ira \in I（或 ar∈Iar \in I），则称为左理想（或右理想）。

直观理解：理想在加法下封闭，在乘法下被整个环"吸收"——环中任意元素乘以理想中的元素，结果仍在理想中。

与正规子群类比：群论中，正规子群的陪集构成商群；环论中，理想是加法正规子群 + 乘法吸收性，理想的陪集构成商环。

理想的生成​

设 S⊆RS \subseteq R。RR 中包含 SS 的最小理想称为由 SS 生成的理想，记作 ⟨S⟩\langle S \rangle 或 (S)(S)。

特殊生成的描述​

生成集生成的理想记号
单个元素 {a}\{a\}{ra+as+∑riasi+na∣r,s,ri,si∈R,n∈Z}\{ra + as + \sum r_i a s_i + na \mid r, s, r_i, s_i \in R, n \in \mathbb{Z}\}⟨a⟩\langle a \rangle 或 (a)(a)
RR 为交换含幺环时单个元素{ra∣r∈R}\{ra \mid r \in R\}(a)=Ra(a) = Ra
有限集 {a1,…,an}\{a_1, \ldots, a_n\}有限和 ∑riai\sum r_i a_i（交换时）(a1,…,an)(a_1, \ldots, a_n)

理想的运算​

运算定义说明
和I+J={a+b∣a∈I,b∈J}I + J = \{a + b \mid a \in I, b \in J\}包含 I,JI, J 的最小理想
交I∩JI \cap J仍为理想
积IJ={∑aibi∣ai∈I,bi∈J}IJ = \{\sum a_i b_i \mid a_i \in I, b_i \in J\}由 {ab∣a∈I,b∈J}\{ab \mid a \in I, b \in J\} 生成的理想
商理想(I:J)={r∈R∣rJ⊆I}(I : J) = \{r \in R \mid rJ \subseteq I\}理想论的"除法"

平凡理想与单环​

  • {0}\{0\} 和 RR 总是 RR 的理想，称为平凡理想
  • 若 R≠{0}R \neq \{0\} 且只有平凡理想，称 RR 为单环
  • 域是单环（因为非零元可逆，任意非零理想必含 11，从而等于全环）

常见例子​

理想原环说明
nZ=(n)n\mathbb{Z} = (n)Z\mathbb{Z}Z\mathbb{Z} 的所有理想都是主理想
(x)(x)F[x]F[x]常数项为零的多项式全体
(x,y)(x, y)F[x,y]F[x, y]常数项为零的二元多项式（非主理想）
迹为零的矩阵全体Mn(F)M_n(F)Mn(F)M_n(F) 只有平凡理想