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标准正交基与正交变换

欧氏空间的定义​

欧几里得空间是实数域 R\mathbb{R} 上的线性空间 VV，其上定义了一个内积 (α,β)(\alpha, \beta)，满足：

  1. 对称性：(α,β)=(β,α)(\alpha, \beta) = (\beta, \alpha)
  2. 线性性：(kα+lβ,γ)=k(α,γ)+l(β,γ)(k\alpha + l\beta, \gamma) = k(\alpha, \gamma) + l(\beta, \gamma)
  3. 正定性：(α,α)≥0(\alpha, \alpha) \geq 0，等号成立当且仅当 α=0\alpha = 0

基本概念​

概念定义
长度（范数）∥α∥=(α,α)\|\alpha\| = \sqrt{(\alpha, \alpha)}
夹角cos⁡θ=(α,β)∥α∥∥β∥\cos \theta = \dfrac{(\alpha, \beta)}{\|\alpha\| \|\beta\|}
正交(α,β)=0  ⟺  α⊥β(\alpha, \beta) = 0 \iff \alpha \perp \beta
单位向量∥α∥=1\|\alpha\| = 1

Cauchy-Schwarz 不等式​

∣(α,β)∣≤∥α∥⋅∥β∥|(\alpha, \beta)| \leq \|\alpha\| \cdot \|\beta\|

等号成立当且仅当 α,β\alpha, \beta 线性相关。

三角不等式​

∥α+β∥≤∥α∥+∥β∥\|\alpha + \beta\| \leq \|\alpha\| + \|\beta\|

标准正交基​

定义​

基 ε1,…,εn\varepsilon_1, \ldots, \varepsilon_n 称为标准正交基，若

(εi,εj)=δij={1i=j0i≠j(\varepsilon_i, \varepsilon_j) = \delta_{ij} = \begin{cases} 1 & i = j \\ 0 & i \neq j \end{cases}

在标准正交基下，向量的坐标就是内积：若 α=∑xiεi\alpha = \sum x_i \varepsilon_i，则 xi=(α,εi)x_i = (\alpha, \varepsilon_i)。

施密特正交化​

对任意一组基 α1,…,αn\alpha_1, \ldots, \alpha_n，可构造标准正交基：

  1. 正交化：

β1=α1\beta_1 = \alpha_1

βk=αk−∑i=1k−1(αk,βi)(βi,βi)βi,k=2,…,n\beta_k = \alpha_k - \sum_{i=1}^{k-1} \frac{(\alpha_k, \beta_i)}{(\beta_i, \beta_i)} \beta_i, \quad k = 2, \ldots, n

  1. 单位化：ηk=βk∥βk∥\eta_k = \dfrac{\beta_k}{\|\beta_k\|}

正交变换​

定义​

线性变换 σ\sigma 称为正交变换，若对任意 α,β∈V\alpha, \beta \in V：

(σ(α),σ(β))=(α,β)(\sigma(\alpha), \sigma(\beta)) = (\alpha, \beta)

即保持内积不变。

等价条件​

  • ∥σ(α)∥=∥α∥\|\sigma(\alpha)\| = \|\alpha\|（保长）
  • σ\sigma 将标准正交基映为标准正交基
  • σ\sigma 在标准正交基下的矩阵 QQ 是正交矩阵：Q⊤Q=IQ^\top Q = I

正交矩阵​

QQ 是正交矩阵   ⟺  \iff Q⊤Q=IQ^\top Q = I   ⟺  \iff 列（行）向量是两两正交的单位向量   ⟺  \iff Q−1=Q⊤Q^{-1} = Q^\top。

正交矩阵的行列式为 ±1\pm 1。第一类（det⁡=1\det = 1）对应旋转，第二类（det⁡=−1\det = -1）对应反射。

对称变换与实对称矩阵​

对称变换​

若 σ\sigma 满足 (σ(α),β)=(α,σ(β))(\sigma(\alpha), \beta) = (\alpha, \sigma(\beta))，则称 σ\sigma 为对称变换。在标准正交基下，对称变换的矩阵是实对称矩阵。

实对称矩阵的谱定理​

定理：实对称矩阵的特征值全是实数，且不同特征值对应的特征向量正交。

对角化定理：任何实对称矩阵 AA 可正交对角化：存在正交矩阵 QQ，使 Q⊤AQ=diag⁡(λ1,…,λn)Q^\top A Q = \operatorname{diag}(\lambda_1, \ldots, \lambda_n)

化二次型为平方和（正交变换法）​

这正是二次型标准形理论中正交变换法的理论基础。