Skip to main content

重因式与有理系数判别

多项式函数与形式导数​

形式导数​

f(x)=∑k=0nakxkf(x) = \sum_{k=0}^{n} a_k x^k 的形式导数定义为：

f′(x)=∑k=1nkakxk−1f'(x) = \sum_{k=1}^{n} k a_k x^{k-1}

形式导数完全按代数规则定义，不依赖极限概念。它满足普通导数的所有代数性质（和、积法则等）。

重因式判定​

定理：若不可约多项式 p(x)p(x) 是 f(x)f(x) 的 kk 重因式（k≥2k \geq 2），则 p(x)p(x) 是 f′(x)f'(x) 的 k−1k-1 重因式。

特别地，pp 是 ff 的重因式   ⟺  \iff p∣(f,f′)p \mid (f, f')。

判定方法​

  1. 计算 f′f' 和 (f,f′)(f, f')
  2. (f,f′)≠1(f, f') \neq 1 时，ff 有重因式
  3. 若 (f,f′)=1(f, f') = 1，则 ff 无重因式

复数域上的多项式​

代数基本定理​

定理：每个次数 ≥1\geq 1 的复系数多项式在复数域中至少有一个根。

等价表述：nn 次复系数多项式恰有 nn 个复根（计重数）。

不可约多项式的分类​

复数域上的不可约多项式只能是一次多项式 x−ax - a。

实数域上的多项式​

虚根共轭定理​

定理：若 α\alpha 是实系数多项式 f(x)f(x) 的复根，则其共轭 αˉ\bar{\alpha} 也是 f(x)f(x) 的根。

不可约多项式的分类​

实数域上的不可约多项式只有两类：

  1. 一次多项式 x−ax - a
  2. 判别式 Δ<0\Delta < 0 的二次多项式 x2+px+qx^2 + px + q

有理数域上的多项式​

有理根检验定理​

设 f(x)=anxn+⋯+a0∈Z[x]f(x) = a_n x^n + \cdots + a_0 \in \mathbb{Z}[x]。若既约分数 rs\dfrac{r}{s} 是 ff 的有理根，则 r∣a0r \mid a_0 且 s∣ans \mid a_n。

本原多项式​

Z[x]\mathbb{Z}[x] 中的非零多项式，若其系数的最大公因数为 11，则称为本原多项式。

Gauss 引理​

两个本原多项式的乘积仍是本原多项式。

推论：整系数多项式在 Z[x]\mathbb{Z}[x] 中可约   ⟺  \iff 在 Q[x]\mathbb{Q}[x] 中可约。

Eisenstein 判别法​

设 f(x)=anxn+⋯+a0∈Z[x]f(x) = a_n x^n + \cdots + a_0 \in \mathbb{Z}[x]。若存在素数 pp，使：

  1. p∤anp \nmid a_n
  2. p∣an−1,an−2,…,a0p \mid a_{n-1}, a_{n-2}, \ldots, a_0
  3. p2∤a0p^2 \nmid a_0

则 f(x)f(x) 在 Q\mathbb{Q} 上不可约。

经典例子：

  • xn−2x^n - 2 在 Q\mathbb{Q} 上不可约（取 p=2p = 2）
  • 割圆多项式 Φp(x)=xp−1+⋯+x+1\Phi_p(x) = x^{p-1} + \cdots + x + 1 在 Q\mathbb{Q} 上不可约

小结​

数域不可约多项式特征关键工具
C\mathbb{C}只能是一次代数基本定理
R\mathbb{R}一次或判别式 < 0 的二次虚根共轭
Q\mathbb{Q}极其复杂Eisenstein 判别法