惯性定理与正定性

惯性定理

定理陈述

惯性定理：无论用什么可逆线性替换将实二次型化为标准形，标准形中正系数个数 $p$ 和负系数个数 $q$ 是唯一确定的。

• $p$：正惯性指数
• $q$：负惯性指数
• $r = p + q = \operatorname{rank} A$：二次型的秩
• $p - q$：符号差

惯性定理的意义

正负惯性指数是合同变换的完全不变量——两个实对称矩阵合同当且仅当它们有相同的正负惯性指数。

规范形

标准形可进一步化为规范形：

$f = y_1^2 + \cdots + y_p^2 - y_{p+1}^2 - \cdots - y_{p+q}^2$

即所有系数归一化为 $+1$ 或 $-1$。

正定二次型

定义

实二次型 $f(X) = X^\top A X$ 称为正定的，若对任意 $X \neq 0$，有 $f(X) > 0$。

类似可定义负定（$f < 0$）、半正定（$f \geq 0$）、半负定（$f \leq 0$）、不定（既有正又有负）。

正定性判定

以下条件等价（$A$ 为实对称矩阵）：

条件	说明
$f(X) > 0$（$\forall X \neq 0$）	定义
顺序主子式全 $> 0$	最常用：$\det A_k > 0$（$k = 1, \ldots, n$）
特征值全为正	$\lambda_i > 0$（$i = 1, \ldots, n$）
$p = n$，$q = 0$	正惯性指数 = $n$
存在可逆矩阵 $C$ 使 $A = C^\top C$	Cholesky 分解

顺序主子式

$A$ 的第 $k$ 个顺序主子式是左上角 $k \times k$ 子矩阵的行列式：

$$\Delta_k = \det\left(\begin{array}{ccc} a_{11} & \cdots & a_{1k} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{k1} & \cdots & a_{kk} \end{array}\right)$$

负定性的判定

• 顺序主子式交错变号：$\Delta_1 < 0, \Delta_2 > 0, \Delta_3 < 0, \ldots$（即 $(-1)^k \Delta_k > 0$）
• 特征值全为负

Sylvester 判则总结

类型	顺序主子式	特征值
正定	$\Delta_k > 0$（全正）	$\lambda_i > 0$
负定	$(-1)^k \Delta_k > 0$（交错）	$\lambda_i < 0$
半正定	$\Delta_k \geq 0$（但不保证）	$\lambda_i \geq 0$
不定	其他情形	有正有负

二次型分类图解

            正定        负定
         (全 > 0)    (全 < 0)
            |            |
    半正定 --+-- 不定 --+-- 半负定
  (≥ 0,有0)  (有正有负)  (≤ 0,有0)

关键事实：对实对称矩阵，特征值全正 $\iff$ 正定 $\iff$ 顺序主子式全正。