伯努利方程与黎卡提方程

有些非线性一阶方程可以通过巧妙的变量代换化为线性方程——伯努利方程和黎卡提方程便是其中最重要的两类。

伯努利方程

标准形式

$\frac{dy}{dx} + P(x)\,y = Q(x)\,y^n \qquad (n \neq 0, 1)$

当 $n = 0$ 时退化为一阶线性方程；当 $n = 1$ 时为变量分离方程。

解法：化为线性方程

令 $v = y^{1-n}$，则：

$\frac{dv}{dx} = (1-n)y^{-n}\frac{dy}{dx}$

代入原方程：

$\frac{dv}{dx} + (1-n)P(x)\,v = (1-n)Q(x)$

这是一阶线性方程！解出 $v$ 后，$y = v^{1/(1-n)}$。

举例

求解 $y' + \frac{1}{x}y = xy^2$（$n = 2$）：

令 $v = y^{-1}$，则 $v' = -y^{-2}y'$。代入：

$-y^{-2}y' - \frac{1}{x}y^{-1} = -x \quad\Longrightarrow\quad v' - \frac{1}{x}v = -x$

这是一阶线性方程。$\mu(x) = e^{-\int \frac{1}{x}dx} = \frac{1}{x}$。

$v = x\left[ \int (-x) \cdot \frac{1}{x}\,dx + C \right] = x(-x + C) = Cx - x^2$

$y = \frac{1}{v} = \frac{1}{Cx - x^2}$

黎卡提方程

标准形式

$\frac{dy}{dx} = P(x)\,y^2 + Q(x)\,y + R(x)$

这是二次非线性方程，一般不能初等求解。但若已知一个特解 $y_1(x)$，则可化为线性方程。

解法（已知一个特解）

设 $y = y_1 + \dfrac{1}{v}$，其中 $v$ 是新未知函数。代入黎卡提方程，经过化简可得 $v$ 满足一阶线性方程：

$\frac{dv}{dx} + \bigl[Q(x) + 2P(x)y_1(x)\bigr]\,v = -P(x)$

解出 $v$ 后，$y = y_1 + 1/v$ 即为通解。

举例

求解 $y' = -y^2 + \dfrac{2}{x^2}$。已知特解 $y_1 = \dfrac{1}{x}$。

令 $y = \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{v}$。代入化简得：

$v' + \frac{2}{x}v = 1$

这是一阶线性方程。

$v = e^{-\int \frac{2}{x}dx}\left[ \int 1 \cdot e^{\int \frac{2}{x}dx} dx + C \right] = \frac{1}{x^2}\left[ \frac{x^3}{3} + C \right] = \frac{x}{3} + \frac{C}{x^2}$

$y = \frac{1}{x} + \frac{1}{\frac{x}{3} + C/x^2} = \frac{1}{x} + \frac{3x^2}{x^3 + 3C}$

伯努利与黎卡提的对比

	伯努利方程	黎卡提方程
形式	$y' + Py = Qy^n$	$y' = Py^2 + Qy + R$
化为线性	总是可化（$n \neq 0,1$）	需要已知一个特解
变量代换	$v = y^{1-n}$	$y = y_1 + 1/v$
适用范围	$n \neq 0, 1$	已知特解时

核心思想

伯努利方程和黎卡提方程的共同策略：通过变量代换将非线性方程降为线性方程——"化陌生为熟悉"。