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一阶线性方程（积分因子法）

一阶线性微分方程是所有 ODE 解法中最基础也最常用的——它有一套统一、机械的解法。

标准形式​

dydx+P(x) y=Q(x)\frac{dy}{dx} + P(x)\,y = Q(x)

其中 P(x),Q(x)P(x), Q(x) 在某个区间上连续。

  • Q(x)≡0Q(x) \equiv 0 时称为齐次线性方程（注意这里的"齐次"与之前的齐次含义不同）
  • Q(x)≢0Q(x) \not\equiv 0 时称为非齐次线性方程

通解公式（积分因子法）​

第一步：求积分因子​

μ(x)=exp⁡ ⁣(∫P(x) dx)\mu(x) = \exp\!\left(\int P(x)\,dx\right)

注意 μ(x)>0\mu(x) > 0 恒成立。

第二步：两边乘积分因子​

μ(x)dydx+μ(x)P(x)y=μ(x)Q(x)\mu(x)\frac{dy}{dx} + \mu(x)P(x)y = \mu(x)Q(x)

左端恰为乘积的导数：

ddx[μ(x) y]=μ(x)Q(x)\frac{d}{dx}\bigl[\mu(x)\,y\bigr] = \mu(x)Q(x)

第三步：积分求解​

y(x)=1μ(x)[∫μ(x)Q(x) dx+C]y(x) = \frac{1}{\mu(x)}\left[\int \mu(x)Q(x)\,dx + C\right]

记忆公式： y=e−∫Pdx[∫Q e∫Pdx dx+C]y = e^{-\int P dx} \left[ \int Q \, e^{\int P dx} \, dx + C \right]

通解结构​

由通解公式可得：

y(x)=Ce−∫P dx⏟齐次通解 yh+e−∫P dx∫Q e∫P dxdx⏟非齐次特解 ypy(x) = \underbrace{C e^{-\int P\,dx}}_{\text{齐次通解 } y_h} + \underbrace{e^{-\int P\,dx} \int Q \, e^{\int P\,dx} dx}_{\text{非齐次特解 } y_p}

  • 齐次通解 yhy_h：含一个任意常数，构成一维线性空间
  • 非齐次特解 ypy_p：不带任意常数
  • 通解 = yh+ypy_h + y_p

初值问题​

y′+P(x)y=Q(x),y(x0)=y0y' + P(x)y = Q(x), \quad y(x_0) = y_0

解为：

y(x)=e−∫x0xP(t) dt[y0+∫x0xQ(s) e∫x0sP(t) dt ds]y(x) = e^{-\int_{x_0}^x P(t)\,dt} \left[ y_0 + \int_{x_0}^x Q(s)\, e^{\int_{x_0}^s P(t)\,dt} \, ds \right]

经典例子​

例 1：基础求解​

y′+2xy=xy' + 2xy = x

μ(x)=e∫2x dx=ex2\mu(x) = e^{\int 2x\,dx} = e^{x^2}。

y=e−x2[∫xex2dx+C]=e−x2[12ex2+C]=12+Ce−x2y = e^{-x^2}\left[ \int x e^{x^2} dx + C \right] = e^{-x^2}\left[ \frac{1}{2}e^{x^2} + C \right] = \frac{1}{2} + Ce^{-x^2}

例 2：初值问题​

y′+1xy=sin⁡xx,y(π)=1y' + \frac{1}{x}y = \frac{\sin x}{x}, \quad y(\pi) = 1

μ(x)=e∫1xdx=x\mu(x) = e^{\int \frac{1}{x}dx} = x。

y=1x[∫sin⁡x dx+C]=−cos⁡x+Cxy = \frac{1}{x}\left[ \int \sin x \, dx + C \right] = \frac{-\cos x + C}{x}

由 y(π)=1y(\pi) = 1 得 C=π−1C = \pi - 1，故 y=π−1−cos⁡xxy = \dfrac{\pi - 1 - \cos x}{x}。

积分因子法的几何理解​

积分因子 μ(x)\mu(x) 使方程左端化为全微分，本质上是将非恰当方程"校正"为恰当方程。