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常数变易法

常数变易法（Variation of Constants / Variation of Parameters）是求解非齐次线性方程组 X′=A(t)X+f(t)X' = A(t)X + f(t) 的通用方法——将齐次通解中的常数向量改为待定函数向量。

核心思想​

已知齐次方程的基解矩阵 Φ(t)\Phi(t)，齐次通解为 Xh=Φ(t)CX_h = \Phi(t)C。对非齐次方程，设：

X(t)=Φ(t)⋅C(t)X(t) = \Phi(t) \cdot C(t)

其中 C(t)C(t) 是待定的向量函数（"常数变易"）。

推导​

代入 X′=A(t)X+f(t)X' = A(t)X + f(t)：

Φ′(t)C(t)+Φ(t)C′(t)=A(t)Φ(t)C(t)+f(t)\Phi'(t)C(t) + \Phi(t)C'(t) = A(t)\Phi(t)C(t) + f(t)

由 Φ′(t)=A(t)Φ(t)\Phi'(t) = A(t)\Phi(t)（每列都是齐次方程的解），Φ′(t)C=AΦC\Phi'(t)C = A\Phi C，上式化简为：

Φ(t)C′(t)=f(t)\Phi(t)C'(t) = f(t)

因此：

C′(t)=Φ−1(t)f(t)C'(t) = \Phi^{-1}(t) f(t)

C(t)=∫t0tΦ−1(s)f(s) ds+KC(t) = \int_{t_0}^{t} \Phi^{-1}(s) f(s)\,ds + K

常数变易公式​

非齐次通解公式： X(t)=Φ(t)K+Φ(t)∫t0tΦ−1(s)f(s) dsX(t) = \Phi(t)K + \Phi(t)\int_{t_0}^{t} \Phi^{-1}(s) f(s)\,ds

其中第一项为齐次通解，第二项为非齐次特解（K=0K = 0 时满足零初值条件）。

带初值的形式：若 X(t0)=X0X(t_0) = X_0，则 X(t)=Φ(t)Φ−1(t0)X0+Φ(t)∫t0tΦ−1(s)f(s) dsX(t) = \Phi(t)\Phi^{-1}(t_0)X_0 + \Phi(t)\int_{t_0}^{t} \Phi^{-1}(s) f(s)\,ds

常系数情形​

当 AA 为常数矩阵时，Φ(t)=eAt\Phi(t) = e^{At}。常数变易公式简化为：

X(t)=eAtK+eAt∫t0te−Asf(s) dsX(t) = e^{At}K + e^{At}\int_{t_0}^{t} e^{-As} f(s)\,ds

或更紧凑地：

X(t)=eA(t−t0)X0+∫t0teA(t−s)f(s) dsX(t) = e^{A(t-t_0)}X_0 + \int_{t_0}^{t} e^{A(t-s)} f(s)\,ds

标量情形的常数变易法​

对于标量 nn 阶线性方程：

y(n)+an−1y(n−1)+⋯+a0y=f(x)y^{(n)} + a_{n-1}y^{(n-1)} + \cdots + a_0y = f(x)

已知齐次通解 yh=C1y1+⋯+Cnyny_h = C_1 y_1 + \cdots + C_n y_n，设非齐次特解：

yp=u1(x)y1+⋯+un(x)yny_p = u_1(x)y_1 + \cdots + u_n(x)y_n

其中 ui′(x)u_i'(x) 满足：

y_1 & y_2 & \cdots & y_n \\ y_1' & y_2' & \cdots & y_n' \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ y_1^{(n-1)} & y_2^{(n-1)} & \cdots & y_n^{(n-1)} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} u_1' \\ u_2' \\ \vdots \\ u_n' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ \vdots \\ f(x) \end{pmatrix}$$ 即 Wronskian 矩阵 × $(u_i') = (0, \ldots, 0, f)^\top$。 ## 二阶标量方程的常数变易公式 对于 $y'' + p(x)y' + q(x)y = f(x)$，已知齐次的两个线性无关解 $y_1, y_2$： $$y_p = -y_1 \int \frac{y_2 f}{W} dx + y_2 \int \frac{y_1 f}{W} dx$$ 其中 $W = y_1 y_2' - y_2 y_1'$ 是 Wronskian。 ## 举例 求解 $y'' + y = \tan x$。 齐次解：$y_1 = \cos x$，$y_2 = \sin x$。$W = \cos^2 x + \sin^2 x = 1$。 $$y_p = -\cos x \int \frac{\sin x \tan x}{1} dx + \sin x \int \frac{\cos x \tan x}{1} dx$$ $$= -\cos x \int \frac{\sin^2 x}{\cos x} dx + \sin x \int \sin x \, dx$$ $$= -\cos x \left( \int (\sec x - \cos x) dx \right) - \sin x \cos x$$ $$= \cos x \cdot \ln|\cos x| - \cos x (-\sin x) - \sin x \cos x$$ 最终特解 $y_p = \cos x \cdot \ln|\cos x|$。 通解：$y = C_1 \cos x + C_2 \sin x + \cos x \ln|\cos x|$。