李雅普诺夫直接法

李雅普诺夫直接法（Lyapunov's Direct Method，也称第二方法）是分析非线性系统稳定性的核心工具——无需求解方程，直接通过构造一个"能量函数"来判断稳定性。它特别适用于线性化方法失效的非双曲情形。

核心思想

为系统构造一个类似于"能量"的函数 $V(X)$。若 $V$ 沿系统轨线单调递减，则系统趋向不动点（稳定）；若递增加，则远离（不稳定）。

稳定性定义

对自治系统 $X' = F(X)$，设 $X^* = 0$ 是不动点（通过平移总能做到），考虑零解的稳定性：

类型	定义
稳定（李雅普诺夫意义）	$\forall \varepsilon > 0, \exists \delta > 0$：$\|X(0)\| < \delta \Rightarrow \|X(t)\| < \varepsilon, \forall t \geq 0$
渐近稳定	稳定 + $\exists \delta > 0$：$\|X(0)\| < \delta \Rightarrow \lim_{t \to \infty} X(t) = 0$
指数稳定	$\exists \delta, \alpha, C > 0$：$\|X(0)\| < \delta \Rightarrow \|X(t)\| \leq C e^{-\alpha t}\|X(0)\|$
不稳定	不满足稳定条件

李雅普诺夫函数

定义

设 $V: U \to \mathbb{R}$ 是 $C^1$ 函数，定义在原点邻域 $U$ 上。$V$ 沿系统 $X' = F(X)$ 的全导数为：

$\dot{V}(X) = \nabla V(X) \cdot F(X) = \sum_{i=1}^{n} \frac{\partial V}{\partial x_i} f_i(X)$

直观上，$\dot{V}(X)$ 是 $V$ 沿解轨线对时间的导数。

正定函数

$V(X)$ 称为正定的，若 $V(0) = 0$ 且 $V(X) > 0$ 对所有 $X \neq 0$（在原点邻域内）。

李雅普诺夫稳定性定理

定理一：稳定

若存在正定函数 $V(X)$（$C^1$），使在原点某邻域内 $\dot{V}(X) \leq 0$（半负定），则零解是稳定的。

定理二：渐近稳定

若存在正定函数 $V(X)$（$C^1$），使在原点某邻域内 $\dot{V}(X) < 0$ 对所有 $X \neq 0$（负定），则零解是渐近稳定的。

定理三：不稳定（Chetaev 定理）

若存在函数 $V(X)$，$V(0) = 0$，且在原点任意小邻域内存在点使 $V > 0$，且在这些点上 $\dot{V} > 0$，则零解不稳定。

判定表

$V(X)$	$\dot{V}(X)$	结论
正定	负定	渐近稳定
正定	半负定	稳定（需额外验证渐近性）
正定	正定	不稳定
正定	不定	不能直接判定

线性系统的李雅普诺夫方程

对于线性系统 $X' = AX$，可取二次型 $V(X) = X^\top P X$（$P$ 对称正定）。则：

$\dot{V}(X) = X^\top (A^\top P + PA) X$

李雅普诺夫方程：$A^\top P + PA = -Q$。若对任意正定 $Q$，存在正定解 $P$，则 $A$ 的所有特征值实部为负（零解渐近稳定）。

逆命题也成立：若 $A$ 的特征值实部全负，则对任意正定 $Q$，存在唯一正定解 $P$。

构造李雅普诺夫函数的常见技巧

1. 能量函数法

对力学系统，取总能量（动能 + 势能）作为 $V$。

2. 二次型试探

$V(X) = X^\top P X$，$P$ 待定正定。

3. 变量梯度法

先假设 $\nabla V = g(X)$（待定），由可积性条件 $\partial g_i/\partial x_j = \partial g_j/\partial x_i$ 确定 $g$，再积分得 $V$。

举例

分析 $\begin{cases} x' = -y - x^3 \\ y' = x - y^3 \end{cases}$ 零解的稳定性。

取 $V(x, y) = x^2 + y^2$（正定）。

$\dot{V} = 2x(-y - x^3) + 2y(x - y^3) = -2x^4 - 2y^4$

$\dot{V} < 0$ 对所有 $(x, y) \neq (0, 0)$（负定）。

由李雅普诺夫定理，零解渐近稳定。注意：线性化系统的 Jacobi 矩阵特征值为纯虚数 $\pm i$（非双曲中心），线性化方法失效——这正是李雅普诺夫直接法大显身手的场合。

不变原理（LaSalle 不变原理）

当 $\dot{V} \leq 0$（半负定）且不能证明 $\dot{V} < 0$ 时，可用 LaSalle 不变原理判断渐近稳定性：

LaSalle 不变原理：若 $V$ 正定、径向无界，$\dot{V} \leq 0$，且集合 $\{X \mid \dot{V}(X) = 0\}$ 中除原点外不含系统的不变集，则零解渐近稳定。

李雅普诺夫函数的意义

• 无需求解方程即可判断稳定性
• 特别适用于非双曲不动点（线性化失效）
• 提供稳定性的充分条件（不是必要条件）
• 本质是寻找系统的"单调递减的广义能量"