分布函数与分布类型

随机变量的定义

设 $\Omega$ 为样本空间。随机变量 $X$ 是 $\Omega \to \mathbb{R}$ 的映射，满足对任意实数 $x$ ， $\{\omega \mid X(\omega) \leq x\}$ 是事件。

随机变量 $X$ 的分布函数（Cumulative Distribution Function）为：

$F(x) = P(X \leq x), \quad x \in \mathbb{R}$

性质	含义
单调不减	$x_1 < x_2 \Rightarrow F(x_1) \leq F(x_2)$
有界性	$0 \leq F(x) \leq 1$ ， $\lim_{x \to -\infty}F(x) = 0$ ， $\lim_{x \to +\infty}F(x) = 1$
右连续性	$\lim_{x \to a^+}F(x) = F(a)$ （左极限存在但不一定等于 $F(a)$ ）

分布函数完全刻画了随机变量的概率性质。由分布函数可计算任意区间的概率：

$P(a < X \leq b) = F(b) - F(a)$

$X$ 只取有限个或可列个值 $x_1, x_2, \ldots$ ，称 $X$ 为离散型随机变量。

$p_k = P(X = x_k), \quad k = 1, 2, \ldots$

满足： $p_k \geq 0$ ，且 $\sum_k p_k = 1$ 。

分布函数： $F(x) = \sum_{x_k \leq x} p_k$ （阶梯函数，在 $x_k$ 处有跳跃 $p_k$ ）。

若存在非负可积函数 $f(x) \geq 0$ ，使对任意 $x$ ：

$F(x) = \int_{-\infty}^{x} f(t)\,dt$

则称 $X$ 为连续型随机变量， $f(x)$ 为其概率密度函数（PDF）。