事件的独立性

独立性是概率论区别于测度论的核心概念——它体现了随机事件之间"互不影响"的直观。

两个事件的独立性

定义

若 $P(AB) = P(A) \cdot P(B)$，则称事件 $A$ 与 $B$ 相互独立。

独立性与条件概率

当 $P(B) > 0$ 时：

$A \perp\!\!\!\perp B \;\Longleftrightarrow\; P(A \mid B) = P(A)$

即 $B$ 的发生不影响 $A$ 的概率。

独立性的性质

性质	说明
不可能事件/必然事件	$\varnothing$ 和 $\Omega$ 与任意事件独立
若 $A \perp\!\!\!\perp B$	则 $A \perp\!\!\!\perp \bar{B}$，$\bar{A} \perp\!\!\!\perp B$，$\bar{A} \perp\!\!\!\perp \bar{B}$
若 $P(A) > 0, P(B) > 0$	独立与互斥不能同时成立（$AB = \varnothing \Rightarrow P(AB) = 0 \neq P(A)P(B)$）

多个事件的独立性

两两独立

$n$ 个事件 $A_1, \ldots, A_n$ 两两独立：对任意 $i \neq j$，有 $P(A_i A_j) = P(A_i)P(A_j)$。

相互独立

$n$ 个事件 $A_1, \ldots, A_n$ 相互独立：对任意 $k$（$2 \leq k \leq n$）和 $\{i_1, \ldots, i_k\} \subseteq \{1, \ldots, n\}$，有：

$P(A_{i_1} A_{i_2} \cdots A_{i_k}) = P(A_{i_1}) P(A_{i_2}) \cdots P(A_{i_k})$

需要验证 $2^n - n - 1$ 个等式！

两两独立 $\nRightarrow$ 相互独立

经典反例（Bernstein）：掷两枚均匀硬币。定义：

• $A$：第一枚正面
• $B$：第二枚正面
• $C$：两枚结果相同

则 $P(A) = P(B) = P(C) = 1/2$。$A, B, C$ 两两独立（每对乘积 $= 1/4$），但 $P(ABC) = 1/4 \neq 1/8$，不是相互独立。

试验的独立性

$n$ 重独立试验

$n$ 个试验 $E_1, \ldots, E_n$ 相互独立：各试验所涉及的事件相互独立。

$n$ 重伯努利试验

每次试验只有两个结果（成功/失败），且各次试验独立、每次成功概率 $p$ 相同。

在 $n$ 重伯努利试验中，恰有 $k$ 次成功的概率：

$P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}, \quad k = 0, 1, \ldots, n$

这就是二项分布的分布列。

伯努利大数定律

$n$ 重伯努利试验中，事件 $A$ 的频率 $\frac{n_A}{n}$ 依概率收敛到其概率 $p$。这为"频率稳定性"提供了数学依据（详见第四章大数定律）。

条件独立性

在给定事件 $C$（$P(C) > 0$）的条件下，若：

$P(AB \mid C) = P(A \mid C) \cdot P(B \mid C)$

则称 $A$ 与 $B$ 在给定 $C$ 下条件独立。

注意：无条件独立不一定推出条件独立，反之亦然。